三角形数和正方形数的一些“事” -好学教育

先来看题目中的中两个概念：三角形数和正方形数。前者是的结果，后者是完全平方数。这据说是源于坚信“万物皆数”的毕达哥拉斯学派，相当直观，不必进一步解释了。

好，现在我们的第一个问题是，有没有某些数既是三角形数，同时也是正方形数呢？显然数字就是其中一个，问题是还有多少这样的数？（为了后面表述方便，我们以三角形数表达式里的最大一项作为标志）

粗略想一下，可以看出、、、都是可以的。我们写成下面的式子：

看出点规律没？

我们把等号右边的底数写成这样的数列：，，，，，，，，显然可以用这样的递推公式表示：

以上公式，用“人话”来说，就是前两项都是，从第三项开始，奇数项是前面两项的和，偶数项是同样这两项中的前项倍再加后项。

以上规律是正确的吗？就请读者自行检验吧。

接下来我们研究另外一个问题，即的极限。之所以要研究这个问题，是因为我要介绍一种我自己想出来的计算方法，这种方法肯定不严谨，但很有趣。

读者应该知道斐波那契数列吧，如果我们令斐波那契数列里相邻的两项，则。我们都知道这个数列当时是有极限的，下面不妨认为即，由此可以解出的值，此即为所求极限。这个算法的原理是，当很大时相邻两项的比值就成了定值。

下面我们可以用这种方法来求我们的极限了。令 ,则，且有，这个式子不难算吧。不过要提醒两个问题：第一，以上方法不严谨；第二，因为我们的数列里奇数项和偶数项递推式不同，所以和的比值也是不同的。

最后我说说我是怎么想出这么个方法的。我上高中物理时经常遇到一种计算“一维无限电路网络”等效电阻的题目，当时我们采取的方法就是令整个网络的阻值等于第一部分和其余部分并联后的阻值。我是受到这个问题的启发想出来的。

三角形数和正方形数的一些“事”