构造等腰三角形的六种技巧 -好学教育

　　构造等腰三角形，不管是几何证明题，还是几何计算题，都是非常重要的辅助线作法。今天我们通过一篇文章来系统的看看构造等腰三角形的六种技巧：

　　1、做腰的平行线构造等腰三角形

　　2、做底的平行线构造等腰三角形

　　3、角平分线+平行线，构造等腰三角形

　　4、角平分线+垂直，构造等腰三角形

　　5、截长补短法构造等腰三角形

　　6、构造等边三角形

　　类型一、做一腰的平行线构造等腰三角形

　　辅助线：作DE∥BC，则△ADE为等腰三角形

　　例题：如图，△ABC中，AB=AC，D在AB上，F在AC的延长线上，且BD=CF，连接DE交BC于E.求证：DE=EF

　　证明：过D点作AF的平行线交BC于G点，

　　∴∠ECF=∠DGE，

　　∴∠DGB=∠ACB

　　∵AB=AC，

　　∴∠ABC=∠ACB，

　　∴∠ABC=∠DGB，

　　∴DG=BD，

　　∵BD=CF，

　　∴DG=CF.

　　由∠ECF=∠DGE，∠DEG=∠CEF，DG=CF可得

　　△DGE≌△FCE(AAS)，

　　∴DE=EF.

　　类型二、做底的平行线构造等腰三角形

　　辅助线：作DE∥AB，则△CDE为等腰三角形

　　例题：如图，等边△ABC中，D在边AC延长线上一点，延长BC至E，使CE=AD，DG⊥BC于G，求证：BG=EG.

　　证明：过点D作DF∥BC交AB的延长线于点F.

　　∵△ABC是等边三角形，

　　∴AB=AC=BC，∠ABC=∠ACB=∠AFD=∠ADF=∠A=60°，

　　∴△ADF是等边三角形，

　　∴AD=DF=AF，

　　∴CD=BF.

　　又∵AD=CE，

　　∴FD=CE.

　　又∵∠DFB=∠DCE=60°，

　　在△BFD和△DCE中，

　　∴△BFD≌△DCE(SAS)，

　　∴DB=DE.

　　又∵DG⊥BC，

　　∴BG=EG.

　　类型三、角平分线+平行线，构造等腰三角形

　　辅助线：利用平行线将角平分线的两个角转化到同一个三角形里面

　　例题：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC边于点D，点E是BC边的中点，线段EF∥AD交线段AB于点G，交线段CA的延长线于点F.求证：BG=CF.

　　作CM∥AB交FE的延长线于M.

　　∵BG∥CM，

　　∴∠B=∠MCE，

　　∵E是BC中点，

　　∴BE=EC，

　　∴△BEG≌△CEM，

　　∴BG=CM，

　　∵AD∥EF，

　　∴∠1=∠FGA，∠2=∠F，

　　∵∠1=∠2，

　　∴∠F=∠FGA，

　　∵AB∥CM，

　　∴∠FGA=∠M，

　　∴∠F=∠M，

　　∴CF=CM，

　　∴BG=CF.

　　类型四、角平分线+垂直，构造等腰三角形

　　如图，△ABC的面积为6cm2，AP垂直∠ABC的平分线BP于点P，则△PBC的面积是?

　　解：延长AP交BC于点E，如图所示.

　　∵AP垂直∠ABC的平分线BP于点P，

　　∴∠ABP=∠EBP.

　　在△ABP和△EBP中，

　　∴△ABP≌△EBP(ASA)，

　　∴AP=EP.

　　∵△APC和△EPC等底同高，

　　∴S△APC=S△CPE，

　　∴S△PBC=S△BPE+S△CPES△ABC6=3(cm2)，

　　故答案为：3.

　　类型五、截长补短法构造等腰三角形

　　例题：如图，AD是△ABC的高，且AB+BD=DC，∠BAD=40°，则∠C的度数为?

　　解：在线段DC上取一点E，使DE=DB，连接AE，

　　∵AD是△ABC的高，

　　∴AD⊥BC，

　　∴AD垂直平分BE，

　　∴AB=AE，

　　∴∠EAD=∠BAD=40°，∠AEB=∠B=90°﹣∠BAD=50°，

　　∵AB+BD=DC，DE+CE=DC，

　　∴AB=CE，

　　∴AE=CE，

　　∴∠EAC=∠C，

　　∵∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C，

　　∴∠C∠AEB=25°，

　　故答案为：25°.

　　类型六、构造等边三角形

　　例题：如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB=40°，P为三角形内的一点，且∠PCA=20°，∠PAB=20°，求∠PBC的度数.

　　解：以BC为边在BC上方作等边△DBC，连接DA，

　　∴DB=BC=DC，∠DBC=∠DCB=∠BDC=60°，

　　∵∠ABC=∠ACB=40°，

　　∴AB=AC，∠DBA=∠DBC﹣∠ABC=20°，∠DCA=∠DCB﹣∠ACB=20°，

　　∵∠ABC=∠ACB=40°，

　　∴∠BAC=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=100°，

　　∵∠PAB=20°，

　　∴∠PAC=∠BAC﹣∠PAB=80°，

　　∵∠PCA=20°，

　　∴∠APC=180°﹣∠PAC﹣∠PCA=80°，

　　∴∠CAP=∠APC=80°，

　　∴AC=CP，

　　∴AB=AC=CP，

　　∵∠DBA=∠DCA=∠PCB=20°，

　　∴△DBA≌△DCA≌△BCP(SAS)，

　　∴∠ADB=∠ADC=∠PBC∠BDC=30°，

　　∴∠PBC的度数为30°.

构造等腰三角形的六种技巧

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